Question

12．在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；在五边形ABCDE中，$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．猜想在n边形中，成立的不等式为（　　）

• A． $\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{n}{π}$
• B． $\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n+1）π}$
• C． $\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$
• D． $\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n+2）π}$

Answer 1

分析 观察已知条件，找出规律，猜想在n边形中，成立的不等式即可．

解答 解：在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；
在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；
在五边形ABCDE中，$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．
…
左侧是内角的倒数的和，右侧是分子为边数的平方，分母是（n-2）π．
猜想在n边形中，成立的不等式为：$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$．
故选：C．

点评 本题主要考查归纳推理的方法，属于基础题．