Question

2．已知$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$是两个夹角为60°的单位向量，且2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$与k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$的夹角为120°，求k．

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$的数量积为$\frac{1}{2}$，由2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$与k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$的夹角为120°，利用数量积公式得到关于k的等式解之．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，又|2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{4{\overrightarrow{p}}^{2}-4\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}+{\overrightarrow{q}}^{2}}$=$\sqrt{3}$，|k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$|=${\sqrt{{k}^{2}{\overrightarrow{p}}^{2}+2k\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}+{\overrightarrow{q}}^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，
所以（2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$）（k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$）=$\sqrt{3}\sqrt{{k}^{2}+k+1}×cos120°$=2k-1+1-$\frac{k}{2}$，
解得k=-2．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用；熟练运用公式是关键，属于基础题