Question

11．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄-2，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{3}{（n+1）（{a}_{n}+2）}$（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₂，a₄-2，a₆成等比数列．
∴$（{a}_{4}-2）^{2}={a}_{2}•{a}_{6}$，
∴（1+3d-2）²=（1+d）（1+5d），
化为d²-3d=0，又d≠0，
解得d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）b_n=$\frac{3}{（n+1）（{a}_{n}+2）}$=$\frac{3}{（n+1）（3n-2+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．