Question

6．n为正整数，求证：1•（n+1）+2•n+3•（n-1）+…+（n+1）•1=$\frac{1}{6}$（n+1）（n+2）（n=3）

Answer 1

分析 根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可．

解答 证明：设f（n）=1•（n+1）+2•n+3•（n-1）+…+（n+1）•1．
（1）当n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•（k+1）+2•k+3•（k-1）+…+（k+2）•2+（k+1）•1=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（k+3），
则当n=k+1时，
f（k+1）=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）+（k+2）
=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（k+3）+$\frac{1}{2}$（k+2）（k+2+1）
=$\frac{1}{6}$（k+2）（k+3）（k+4），即n=k+1时等式也成立；
∴由（1）（2）可知当n∈N^*时等式都成立．

点评 本题考查数学归纳法的证明，需要牢记数学归纳法证明的步骤，特别要注意从k到k+1等式的形式的变化、区别．