Question

15．已知数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，又数列{b_n}满足b_n=2log₂a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有$\frac{S_n}{a_n}≤\frac{S_k}{a_k}$成立，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意和等比数列的通项公式求出a_n，利用对数的运算性质化简b_n=2log₂a_n，利用等差数列的前n项和公式求出求S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简${c}_{n}=\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$，化简c_n+1-c_n式子，再对n进行分类讨论判断出符号，求出数列{c_n}中最大项即可得到正整数k的值．

解答 解：（Ⅰ）因为数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$．…（2分）
所以${b_n}=2{log_2}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$．…（3分）
所以${S_n}=2+4+…+2n=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$；…（6分）
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{n（n+1）}{2^n}$，
则${c_{n+1}}-{c_n}=\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n（n+1）}{2^n}=\frac{（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$．…（9分）
所以当n=1时，c₁＜c₂，
当n=2时，c₃=c₂，
当n≥3时，c_n+1-c_n＜0，即c₃＞c₄＞c₅＞…，
所以数列{c_n}中最大项为c₂和c₃．
所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有$\frac{S_k}{a_k}≥\frac{S_n}{a_n}$．…（13分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，对数的运算性质，以及作差法判断数列的单调性，属于中档题．