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    16．甲、乙两同学参加某闯关游戏，规则如下：游戏分三关，每过一关都有相应的积分奖励，闯过第一关可以赢得5个积分，不过则积分为0．闯过前两关可以赢得10个积分，三关全过获得30个积分，任何一关闯关失败游戏自动终止．已知甲过每关的概率均为$\frac{2}{3}$，乙过前2关的概率均为$\frac{1}{2}$，过第三关的概率为$\frac{3}{4}$，且各关能否闯关互不影响．
    （1）求甲、乙共获得30个积分的概率；
    （2）求乙所获积分ξ的分布列和数学期望E（ξ）

    分析 （1）确定事件A：甲、乙共获得30个积分，记事件B甲获得30个积分，乙获得0个积分；记事件C乙获得30个积分，甲获得0个积分；利用互斥事件的概率公式得出P（A）=P（B）+P（C），求解就看得出答案．
    （2）确定ξ可以取值0，5，10，30，求解相应的概率，得出分布列，运用数学期望公式求解即可．

    解答 解：（1）记事件A：甲、乙共获得30个积分，记事件B甲获得30个积分，乙获得0个积分；记事件C乙获得30个积分，甲获得0个积分；
    所以P（A）=P（B）+P（C），
    又p（B）=（$\frac{2}{3}$）3×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{27}$，P（C）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{16}$，
    故P（A）=$\frac{4}{27}$$+\frac{1}{16}$=$\frac{91}{432}$；
    （2）ξ可以取值0，5，10，30，
    P（ξ=0）=$\frac{1}{2}$，P（ξ=5）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
    P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{16}$，
    P（ξ=30）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$．

     ξ 0 5 10 30
     p $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{3}{16}$
    故E（ξ）=×$\frac{1}{2}+$5×$\frac{1}{4}$$+10×\frac{1}{16}$$+30×\frac{3}{16}$=$\frac{15}{2}$．

    点评 本题考查了离散型的概率问题，分布列数学期望，考查了学生的阅读分析问题的能力，解决实际问题的能力．

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