Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当a=1时，若对任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=b＞0时，不等式可化为x²+x-2＜0，解之可得；
（2）原不等式化为$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，由基本不等式求右边式子的最小值可得；
（3）可得-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，进而可得a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，分类讨论去绝对值可得．

解答 解：（1）当a=b＞0时，关于x的不等式f（x）＜0可化为bx²+bx-2b＜0，
即b（x²+x-2）＜0，除以b可得x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1
∴f（x）＜0的解集为（-2，1）；     
（2）当a=1时原不等式f（x）≥1可化为b（x-2）≥1-x²，
∵x∈（-∞，2），∴原不等式化为$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，
由基本不等式可得$\frac{{{x^2}-1}}{2-x}=2-x+\frac{3}{2-x}-4≥2\sqrt{3}-4$，
当且仅当2-x=$\frac{3}{2-x}$即x=2-$\sqrt{3}$时取等号，
∴$b≤2\sqrt{3}-4$
（3）由题意题目条件化为-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，
作图可知a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，去掉一个绝对值
z=|a|+b+2，对a讨论再去掉一个绝对值．
当-5≤a≤0时，由线性规划得$\frac{5}{3}≤z≤5$；
当0＜a≤5时，$\frac{5}{3}＜z≤9$，
综上可得$\frac{5}{3}≤z≤9$．

点评 本题考查简单选项规划，涉及基本不等式求最值和恒成立问题，属中档题．