Question

18．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，求树的高度．

Answer 1

分析 要求树的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．

解答 解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，
sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由正弦定理得：PB=$\frac{ABsin30°}{sin15°}$=30（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
∴树的高度为PBsin45°=30×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=（30+30$\sqrt{3}$）m，
答：树的高度为（30+30$\sqrt{3}$）m．

点评 此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边，属中档题．