Question

8．分别求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）过点A（1，-1）与已知直线l：2x+y-6=0相交于B点，且|AB|=5．

Answer 1

分析 （1）当直线过原点时，符合题意；当直线不过原点时设方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，代点求a可得；
（2）当直线斜率不存在时，符合题意；
当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x-1），联立方程组解交点，由距离公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）当直线过原点时方程为y=$\frac{2}{3}$x，即2x-3y=0，符合题意；
当直线不过原点时设方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，
代入点P（3，2）坐标可得$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{a}$=1，解得a=5，
∴直线方程为x+y-5=0
综上可得所求直线方程为：2x-3y=0或x+y-5=0；
（2）当直线斜率不存在时，方程为x=1，与直线l：2x+y-6=0相交于B（1，4），
由距离公式可得|AB|=5，符合题意；
当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x-1），
联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-1）}\\{2x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{k+7}{k+2}$，$\frac{4k-2}{k+2}$），
由距离公式可得（$\frac{k+7}{k+2}$-1）²+（$\frac{4k-2}{k+2}$+1）²=25，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴所求直线的方程为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，即3x+4y+1=0
综上可得所求直线方程为：x=1或3x+4y+1=0

点评 本题考查直线的一般式方程的求解，涉及截距式和分类讨论的思想，属中档题．