Question

20．已知x₁，x₂分别是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c的两个极值点，且x₁∈（0，1）x₂∈（1，2），则$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围为（　　）

• A． （1，4）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答 解：求导函数可得f'（x）=x²+ax+2b，
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
等价于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+2b＜0}\\{4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$
满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为（-1，0），（-2，0），（-3，1）

$\frac{b-2}{a-1}$的取表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知斜率的最大值为$\frac{2-0}{1+1}$=1，最小值为$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题