Question

10．△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，且3acosA=$\sqrt{6}$（bcosC+ccosB）．
（1）求cosA的值；
（2）若$sin（\frac{π}{2}+B）=\frac{1}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理进行求解即可求cosA的值；
（2）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理，三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）由正弦定理得$3sinAcosA=\sqrt{6}sin（B+C）$，
得$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                                           
（2）若$sin（\frac{π}{2}+B）=\frac{1}{3}$，
则$cosB=\frac{1}{3}，sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
${sinC}=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$
又$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得$a=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}，b=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，
${S_△}=\frac{1}{2}absinC=\frac{8}{5}\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．