Question

2．已知f（x）=m-ncos3x（n＞0）的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为$-\frac{1}{2}$．
（1）求函数g（x）=-4msin（3nx）的周期、最值，并求取得最值时的x值；
（2）求函数g（x）=-4msin（3nx）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由余弦函数的图象及已知可解得m，n的值，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值，最小正周期．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得单调递减区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\frac{3}{2}}\\{m-n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=-2sin3x，
其最大值为2，最小正周期为$\frac{2π}{3}$，
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[$-\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}$]（k∈Z），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得单调递减区间为：[$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{2}+\frac{2kπ}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．