Question

14．已知：函数y=f（x）是周期为4的奇函数，且当x∈[0，1]时，y=log₂x，求当x∈[3，4]时，函数的解析式．

Answer 1

分析 先设x∈[-1，0]，运用取相反数和奇函数的定义，转化为[0，1]，利用周期性和符号把“x-4”转化到区间[-1，0]，代入函数解析式，再利用周期性，求出f（x）在[3，4]上的解析式．

解答 解：设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=log₂x，
∴f（-x）=log₂（-x），
由f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
则f（x）=-log₂（-x），x∈[-1，0]，
由函数y=f（x）是周期为4的函数，
令x∈[3，4]，则x-4∈[-1，0]，
即有f（x-4）=-log₂（4-x），
则有f（x）=f（x-4）=-log₂（4-x），x∈[3，4]．

点评 本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用函数的周期和负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义和周期性求出f（x）．