Question

19．已知：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$都为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$的范围是[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π，转化为：|$\sqrt{2}$sin$\frac{θ}{2}$|+$\sqrt{1+cos（θ+\frac{π}{3}）}$=|$\sqrt{2}sin\frac{θ}{2}$|$+\sqrt{2}$|cos（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{6}$）|，
去掉符号得出$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{θ}{2}$$+\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{3}$）利用三角函数的有界性求解即可．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$都为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π
∴$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{1-cosθ}$$+\sqrt{1-（-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）}$
=|$\sqrt{2}$sin$\frac{θ}{2}$|+$\sqrt{1+cos（θ+\frac{π}{3}）}$=|$\sqrt{2}sin\frac{θ}{2}$|$+\sqrt{2}$|cos（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{6}$）|
∵取sin$\frac{θ}{2}$≥0，cos（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{6}$）≥0，
∴0$≤\frac{θ}{2}$$≤\frac{π}{2}$且$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$，
∴利用三角函数符号得出：0$≤\frac{θ}{2}$≤$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$≤$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{3}$$≤\frac{2π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{3}$）≤1
即$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$+$\sqrt{1-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{θ}{2}$$+\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{3}$）
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$$+\frac{π}{3}$）$≤\sqrt{2}$
故答案为：[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，关键是转化为三角函数式子，利用三角变换求解，属于中档