Question

4．已知函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在点P处的切线斜率为2
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数g（x）=f（x）-2x+2的极值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=1+2ax+$\frac{b}{x}$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简g（x）=-x²-x+3lnx+2，再求导g′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+3）}{x}$，从而判断函数的单调性并求极值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴f′（x）=1+2ax+$\frac{b}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得，a=-1，b=3．
（2）g（x）=f（x）-2x+2=-x²-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+$\frac{3}{x}$=$\frac{-（x-1）（2x+3）}{x}$，
故g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
故函数g（x）=f（x）-2x+2有极大值f（1）=0，无极小值．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及导数的综合应用，属于中档题．