Question

13．对于任一实数序列A={a₁，a₂，a₃，…}，定义DA为序列{a₂-a₁，a₃-a₂，…}，它的第n项为a_n+1-a_n，假设序列D（DA）的所有项均为1，且a₁₉=a₉₂=0，则a₁=819．

Answer 1

分析 根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．

解答 解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，
则它的第n项为d+（n-1），
因此数列A的第n项，a_n=a₁+$\sum_{k=1}^{n-1}$（a_k+1-a_k）=a₁+d+（d+1）+…+（d+n-2）
=a₁+（n-1）d+$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2），
则a_n是关于n的二次多项式，其中n²的系数为$\frac{1}{2}$，
∵a₁₉=a₉₂=0，
∴必有a_n=$\frac{1}{2}$（n-19）（n-92），
则a₁=$\frac{1}{2}$（1-19）（1-92）=$\frac{1}{2}×18×91$=819．
故答案为：819

点评 本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．