Question

2．设y=x²-2x，x∈[-2，a]，求函数的最小值g（a）

Answer 1

分析 由于函数y=x²-2x 的对称轴为直线x=1，故当-2＜a≤1时，函数在[-2，a]上是减函数，故最小值为g（a）=a²-2a．当a＞1时，函数在[-2，1]上是减函数，在[1，a]上是增函数，故最小值为g（1）=-1，从而求得g（a）的解析式．

解答 解：由于函数y=x²-2x=（x-1）²-1 的对称轴为x=1，
当x∈[-2，a]时，函数的最小值为g（a），
∴当-2＜a≤1时，函数在[-2，a]上是减函数，
故最小值为g（a）=a²-2a．
当a＞1时，函数在[-2，1]上是减函数，在[1，a]上是增函数，
故最小值为g（1）=-1．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-2a，a∈（-2，1]\\-1，a∈（1，+∞）\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．