Question

17．方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2011}$的整数解的个数是5个．

Answer 1

分析 由题意可得2011|x 或 2011|y；从而不妨设2011|x；故x=2011n；从而可得n=2或 n=2012或n=-2010或n=0（舍去）；从而代入解得．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2011}$，
∴2011（x+y）=xy；
∵2011为质数，
∴2011|x 或 2011|y；
由对称性，不妨设2011|x；
x=2011n；
2011n+y=ny；
y=2011•$\frac{n}{n-1}$；
∵n-1与n互质，
∴n-1=±1 或n-1=±2011；
n=2或 n=2012或n=-2010或n=0（舍去）；
①当n=2时，x=2011×2=4022，y=2011×2=4022；
②当n=2012时，x=2011×2012=4046132，y=2012；
由于对称性，还有一组：x=2012，y=4046132；
③当n=-2010时，x=-2011×2010=-4042110，y=2010；
由于对称性，还有一组：x=2010，y=-4042110；
共5组解．
故答案为：5．

点评 本题考查了分式方程与整除的应用，属于中档题．