Question

6．已知等式：sin²5°+cos²35°+sin5°cos35°=$\frac{3}{4}$； sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=$\frac{3}{4}$；
sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=$\frac{3}{4}$；由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．

Answer 1

分析 根据所给的等式归纳：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，按照此规律写出一般性的结论，利用两角和的余弦公式等进行证明等式成立．

解答 解：根据各式的共同特点可得：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数$\frac{3}{4}$，
则具有一般规律的等式：sin²θ+cos²（θ+30°）+sinθcos（θ+30°）=$\frac{3}{4}$，
证明：等式的左边=sin²θ+cos（θ+30°）[cos（θ+30°）+sinθ]
=sin²θ+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{1}{2}sinθ$+sinθ）
=sin²θ+（$\frac{3}{4}co{s}^{2}θ-\frac{1}{4}si{n}^{2}θ$）
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}θ+\frac{3}{4}si{n}^{2}θ$=$\frac{3}{4}$=右边，
∴等式成立．

点评 本题考查了归纳推理，两角和的余弦公式等，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．