Question

15．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．

（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象可求得A，b，T的值，由周期公式可求ω，又函数图象过点（0，2.5），得sinφ=1，由范围0＜φ＜π，可求φ，从而可得函数f（t）的解析式；
（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，依题意，有$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4≤\frac{9}{2}$恒成立，展开由三角函数恒等变换化简整理可得：$cos\frac{π}{6}m≤-\frac{1}{2}$，依据余弦函数图象得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤\frac{π}{6}m≤\frac{4π}{3}+2kπ，（k∈Z）$，取k=0得m的范围，从而可求m的最小值．

解答 （本题满分14分）．
解：（1）由图象可得：$\left\{{\begin{array}{l}{A+b=2.5}\\{-A+b=1.5}\end{array}}\right.$，
解得$A=\frac{1}{2}，b=2$----------------------（2分）
周期T=12，∴$ω=\frac{2π}{12}=\frac{π}{6}$，---------------（3分）
∴$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+φ）+2$，
又∵y=f（t）过点（0，2.5），∴sinφ=1，且0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{2}$，-----------------（5分）
∴$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2（t≥0）$---------------（6分）
（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：$f（t）=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}t+2$；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：$f（t+m）=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}（t+m）+2$；
两企业用电负荷量之和$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4（t≥0）$；------（8分）
依题意，有$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4≤\frac{9}{2}$恒成立，
即$cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t≤1$恒成立，
展开有：$（cos\frac{π}{6}m+1）cos\frac{π}{6}t-sin\frac{π}{6}msin\frac{π}{6}t≤1$恒成立，------（10分）
∵$（cos\frac{π}{6}m+1）cos\frac{π}{6}t-sin\frac{π}{6}msin\frac{π}{6}t=\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}cos（\frac{π}{6}t+ϕ）$
（其$cosϕ=\frac{{cos\frac{π}{6}m+1}}{{\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}}}；sinϕ=\frac{{sin\frac{π}{6}m}}{{\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}}}$）；
∴$\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}≤1$，-----------------------（11分）
整理得到：$cos\frac{π}{6}m≤-\frac{1}{2}$，------------------------（12分）
依据余弦函数图象得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤\frac{π}{6}m≤\frac{4π}{3}+2kπ，（k∈Z）$，
即12k+4≤m≤12+8，取k=0得：4≤m≤8
∴m的最小值为4．-----------------------（14分）

点评 本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，属于中档题．