Question

5．求证：
（1）当a＞1时，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$；
（2）1，$\sqrt{2}$，3不可能是一个等差数列中的三项．

Answer 1

分析 （1）利用综合法证明即可；
（2）利用反证法证明，假设1，$\sqrt{2}$，3是同一个等差数列中的三项，分别设为a_m，a_n，a_p，推出d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数，又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项．

解答 证明：（1）∵（$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$）²=2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$，$\sqrt{a+1}$＞0，$\sqrt{a-1}$＞0，且a+1≠a-1，
∴2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$＜2a+2a，
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$----------（7分）
（2）假设1，$\sqrt{2}$，3是同一个等差数列中的三项，分别设为a_m，a_n，a_p，
则d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数，又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数，矛盾．
∴假设不成立，即1，$\sqrt{2}$，3不可能是同一个等差数列中的三项．-------（14分）

点评 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．