Question

【题目】有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边, 相切于点, ．

（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

Answer 1

【答案】（1）当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.（2）当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大

【解析】试题分析：（1）先根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积，即为柱体底面积，再根据柱体体积公式求体积（2）同（1）先计算底面积，再表示高，代入柱体体积公式得容积函数关系式，最后利用导数求最值

试题解析：解：（1）在图甲中，连接交于点．设，

在中，因为，所以，则．

从而，即.

故所得柱体的底面积

.

又所得柱体的高，

所以 .

答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.

（2）设，则，所以所得柱体的底面积

.

又所得柱体的高，

所以 ，其中.

令，则由，

解得.

列表如下：

	＋	0	－
	增	极大值	减

所以当时， 取得最大值.

答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.