Question

已知a

1

2

+a-

1

2

=4，其中a＞0．
（1）求a+a^-1的值；
（2）a+a^-1的值恰是关于x的方程x²-9x+m=0的两根之积，求函数f（x）=x²-9x+m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于a

1

2

+a-

1

2

=4，两边平方即可得到(a

1

2

+a-

1

2

)2=a+a^-1+2=16，即可；
（2）由于a+a^-1的值恰是关于x的方程x²-9x+m=0的两根之积，可得m=a+a^-1=14．通过配方f（x）=x²-9x+14=(x-

9

2

)2-

25

4

．利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵a

1

2

+a-

1

2

=4，
∴(a

1

2

+a-

1

2

)2=a+a^-1+2=16，
∴a+a^-1=14．
（2）∵a+a^-1的值恰是关于x的方程x²-9x+m=0的两根之积，∴m=a+a^-1=14．
∴f（x）=x²-9x+14=(x-

9

2

)2-

25

4

≥-

25

4

．
∴f(x)min=f(

9

2

)=-

25

4

．

点评：本题考查了完全平方公式、配方法、一元二次根与系数的关系、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题．