Question

17．如果点M（x，y）在直线3x-4y+4=0上，则f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$取得最小值时，点M的坐标为（-8，-5）．

Answer 1

分析 根据f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$的几何意义求出其最小值即可得出结论．

解答 解：∵$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$是点A（x，y）和点B（-3，5）间的距离，$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$是点A（x，y）和点C（2，15）间的距离，容易验证出：点A、B都不在直线3x-4y+4=0上，且在异侧．
∴|AB|+|AC|≧|BC|=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5-15）^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$取得最小值5$\sqrt{5}$，
此时直线BC的方程为y-5=$\frac{15-5}{2+3}$（x+3），即2x-y+11=0，
与3x-4y+4=0联立，可得x=-8，y=-5，
∴M（-8，-5）．
故答案为：（-8，-5）．

点评 本题考查两点间的距离公式，考查几何意义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．