Question

12．已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，左焦点为F，若直线y=x+c与椭圆交于A，B 两点，且|AF|=3|FB|，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 联立椭圆方程和直线方程，求得A，B两点的纵坐标，把|AF|=3|FB|化为纵坐标的关系得答案．

解答 解：如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0．
解得：$y=\frac{2{b}^{2}c±\sqrt{（-2{b}^{2}c）^{2}-4（{a}^{2}+{b}^{2}）×（-{b}^{4}）}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\frac{2{b}^{2}c±\sqrt{8{a}^{2}{b}^{4}}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
即${y}_{B}=\frac{{b}^{2}c-\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，${y}_{A}=\frac{{b}^{2}c+\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵|AF|=3|FB|，∴y_A=-3y_B，
则$\frac{{b}^{2}c+\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=-3\frac{{b}^{2}c-\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴${b}^{2}c+\sqrt{2}a{b}^{2}=-3{b}^{2}c+3\sqrt{2}a{b}^{2}$，
即$4{b}^{2}c=2\sqrt{2}a{b}^{2}$，
∴$a=\sqrt{2}c$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了数学转化思想方法，是中档题．