Question

4．动点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a，0），B（-a，0）的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（　　）

• A． 抛物线
• B． 椭圆
• C． 双曲线的右支
• D． 一条直线

Answer 1

分析 画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．

解答 解：如图画出圆M，切点分别为E、D、G，
由切线长相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，
根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，
即有PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（由于PD=PE）
=F₁G+F₂D（由于F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
即为2F₂G=2a-2c，F₂G=a-c，
即点G与点A重合，
即有点M在x轴上的射影是长轴端点A，
M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的定义，以及圆的切线长定理的运用，考查推理能力，属于中档题．