Question

19．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程为（　　）

• A． y=2x-3
• B． y=-2x+5
• C． y=-x+3
• D． y=x-1

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程．

解答 解：∵抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，
∴-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，两式相减得：
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2，
从而直线AB的方程为y-1=2（x-2），即y=2x-3．
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．