Question

10．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且$\overrightarrow{{D_1}E}=λ\overrightarrow{EO}$．
（1）求证：D₁O⊥AC；
（2）若DE⊥平面CD₁O，求λ的值，并求三棱锥C-DEO的体积．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的判定定理证明AC⊥面D₁OD，即可证明D₁O⊥AC；
（2）由DE⊥平面CD₁O，可得DE⊥D₁O，设D₁D=2，则DO=$\sqrt{2}$，由此能求出$\frac{{{D_1}E}}{EO}=2$，由|D₁E|=λ|EO|，得λ=2．利用等体积转化，可求三棱锥C-DEO的体积．

解答 证明：（1）∵O是AC的中点，
∴AC⊥DO，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∵DO∩DD₁=D，
∴AC⊥面D₁OD．
∵D₁O?面D₁OD，∴AC⊥D₁O．
解：（2）由D₁D=2，则$DO=\sqrt{2}$，
∴在Rt△D₁DO中，$O{D_1}=\sqrt{6}$，∴$DE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴${D_1}E=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴$EO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$\frac{{{D_1}E}}{EO}=2$，∴λ=2．
${V_{C-DEO}}={V_{E-DOC}}=\frac{1}{3}•{S_{△DOC}}•h$，易知${S_{△DOC}}=\frac{1}{4}{S_{ABCD}}=1$，$h=\frac{1}{3}D{D_1}=\frac{2}{3}$，
故${V_{C-DEO}}={V_{E-DOC}}=\frac{1}{3}•{S_{△DOC}}•h=\frac{2}{9}$．

点评 本题考查线面垂直的证明与性质的运用，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．