Question

3．设数列的前项和为S_n，且{${\frac{S_n}{n}}$}是等差数列，已知a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令 c_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{S_n}（n为奇数）}\\{{2^{{a_{\frac{n}{2}}}}}（n为偶数）}\end{array}}$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由{${\frac{S_n}{n}}$}是等差数列，且a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15，得到等差数列的公差，求得等差数列的通项公式，进一步求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1即可得出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1，得S_n=n（n+2）．则n为奇数，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，n为偶数，c_n=${2}^{{a}_{\frac{n}{2}}}$=2ⁿ⁺¹．然后分组求和，利用裂项求和及等比数列的前n项和公式即可得出T_2n．

解答 解：（Ⅰ）∵{${\frac{S_n}{n}}$}是等差数列，a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15，
∴3×$\frac{{S}_{3}}{3}=15$，即$\frac{{S}_{3}}{3}=5$．
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=$\frac{{S}_{1}}{1}$+d（3-1），即5=3+2d，解得d=1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}=3+1×（n-1）=n+2$，
∴S_n=n²+2n．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1（n≥2），
当n=1时，也成立．
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1，得S_n=n（n+2），
则n为奇数时，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
n为偶数时，∵a_n=2n+1，
∴${a}_{\frac{n}{2}}=2×\frac{n}{2}+1=n+1$，
则c_n=${2}^{{a}_{\frac{n}{2}}}$=2ⁿ⁺¹．
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]+（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）
=1-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2n}{2n+1}+\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．