Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，若（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{b}=（3，0）$，再设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=0可得$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹，数形结合即可得到|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
∴设$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{b}=（3，0）$，
再设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，→
由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，
得（x-2，y-$2\sqrt{3}$）•（x-2，y）=0，
即$（x-2）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
∴$\overrightarrow{c}$的终点在以（2，$\sqrt{3}$）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆上，
如图，
∴|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\sqrt{（2-3）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．