Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切于点M．
（i）证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（ii）设λ=$\frac{{|{AM}|}}{{|{BM}|}}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到b=1，结合e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=b²+c²求得a²=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）由直线l：y=kx+m与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，可得$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，即${m}^{2}=\frac{2}{3}（1+{k}^{2}）$．联立直线方程好椭圆方程，得到A，B横坐标的和与积，代入可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得到OA⊥OB；
（ii）直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，把A，B的坐标代入椭圆方程，可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$．在圆中由垂径定理可得$λ=\frac{|AM|}{|BM|}=\frac{\sqrt{O{A}^{2}-{r}^{2}}}{\sqrt{O{B}^{2}-{r}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-\frac{2}{3}}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-\frac{2}{3}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}$．结合x₁x₂+y₁y₂=0，得到$λ=\frac{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}=\frac{2+3{{x}_{1}}^{2}}{4}$．由x₁ 的范围求得λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵2b=2，∴b=1．…（1分）
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a²=2．…（3分）
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）（i）∵直线l：y=kx+m与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
∴$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，即${m}^{2}=\frac{2}{3}（1+{k}^{2}）$．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．…（7分）
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）$．
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=$（1+{k}^{2}）•\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+km（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）+{m}^{2}$
=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}=\frac{2（1+{k}^{2}）-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}=0$，
∴OA⊥OB．…（9分）
（ii）∵直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$．
∴$λ=\frac{|AM|}{|BM|}=\frac{\sqrt{O{A}^{2}-{r}^{2}}}{\sqrt{O{B}^{2}-{r}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-\frac{2}{3}}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-\frac{2}{3}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}$．…（11分）
由（Ⅱ）（i）知x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂=-y₁y₂，${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}=（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}）（1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}）$，即${{x}_{2}}^{2}=\frac{4-2{{x}_{1}}^{2}}{2+3{{x}_{1}}^{2}}$．
∴$λ=\frac{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}=\frac{2+3{{x}_{1}}^{2}}{4}$．…（13分）
∵$-\sqrt{2}≤{x}_{1}≤\sqrt{2}$，
∴λ的取值范围是$\frac{1}{2}≤λ≤2$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用向量数量积判断两条线段的垂直关系，考查运算能力，属难题．