Question

15．已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．

Answer 1

分析 设点A关于直线l：x-y+3=0的对称点为C，求出C的坐标，由两点间的距离公式求得|BC|，再由离心率公式，计算可得最大值．

解答 解：如图，设点A关于直线l：x-y+3=0的对称点为C，
连接BC交直线l于P₀，
根据平面几何知识可得：当动点P与点P₀重合时，
|PA|+|PB|取得最小值．
设C（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+2}=-1}\\{\frac{m-2}{2}-\frac{n}{2}+3=0}\end{array}\right.$，
解得m=-3，n=1．
即有C的坐标为（-3，1），
得|PA|+|PB|取得最小值为|CB|=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
则椭圆长轴长的最小值为$\sqrt{26}$，
则椭圆的离心率e=$\frac{2c}{2a}$的最大值为$\frac{4}{\sqrt{26}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{26}}}{13}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质：离心率，着重考查了点关于直线对称点、直线上的点到两定点距离最小值的求法等知识，属于中档题．