Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{4}$．记点P的轨迹为Г．
（Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求$\frac{|MQ|}{|NQ|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出P点坐标，求得AP、BP所在直线的斜率，由斜率之积是-$\frac{1}{4}$列式整理即可得到Г的方程；
（Ⅱ）设出P点坐标，得到AP、BP的方程，进一步求出M、N的纵坐标，再写出椭圆在P点的切线方程，由判别式等于0得到过P的斜率（用P的坐标表示），再代入切线方程，求得Q点纵坐标，设$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{NQ}$，转化为坐标的关系即可求得λ，从而得到$\frac{|MQ|}{|NQ|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），则
直线AP的斜率${k}_{PA}=\frac{y}{x+2}$（x≠-2）；
直线BP的斜率${k}_{PB}=\frac{y}{x-2}$（x≠2）．
由已知有$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$（x≠±2），
化简得点P的轨迹Г的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$（x≠±2）．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁）（x₁≠±2），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$．
直线AP的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，令x=4，得点M纵坐标为${y}_{M}=\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$；
直线BP的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，令x=4，得点N纵坐标为${y}_{N}=\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$；
设在点P处的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{1}）+{y}_{1}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（{y}_{1}-k{x}_{1}）x+4（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-4=0$．
由△=0，得$64{k}^{2}（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-16（1+4{k}^{2}）[（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-1]$=0，
整理得${{y}_{1}}^{2}-2k{x}_{1}{y}_{1}+{k}^{2}{{x}_{1}}^{2}=1+4{k}^{2}$．
将${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{{x}_{1}}^{2}=4（1-{{y}_{1}}^{2}）$代入上式并整理得：$（2{y}_{1}k+\frac{{x}_{1}}{2}）^{2}=0$，解得$k=-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
∴切线方程为$y-{y}_{1}=-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}（x-{x}_{1}）$．
令x=4得，点Q纵坐标为${y}_{Q}={y}_{1}-\frac{{x}_{1}（4-{x}_{1}）}{4{y}_{1}}=\frac{4{{y}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}}{4{y}_{1}}$=$\frac{4（1-{x}_{1}）}{4{y}_{1}}=\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}$．
设$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{NQ}$，则y_Q-y_M=λ（y_N-y_Q），
∴$\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}-\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}=λ（\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}）$．
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（{x}_{1}+2）-6{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}（{x}_{1}+2）}=λ\frac{2{{y}_{1}}^{2}-（1-{x}_{1}）（{x}_{1}-2）}{{y}_{1}（{x}_{1}-2）}$．
将${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$代入上式，得$-2+\frac{{x}_{1}}{2}=λ（-2+\frac{{x}_{1}}{2}）$，
解得λ=1，即$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等，是压轴题．