Question

12．若函数f（x）=2^|x+a|（a∈R）满足f（1-x）=f（1+x），f（x）在区间[m，n]上的最大值记为f（x）_max，最小值记为f（x）_min，若f（x）_max-f（x）_min=3，则n-m的取值范围是（0，4]．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=2^|x+a|满足f（1-x）=f（1+x）得出f（x）的图象关于x=1对称，求出a的值，写出f（x）的解析式，再讨论m、n的取值范围，求出f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差，从而求出n-m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=2^|x+a|（a∈R）满足f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的图象关于x=1对称，∴a=-1，
∴f（x）=2^|x-1|；
当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m、n差越小，极限值是0；
当m＜1＜n时，函数f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为：
f（x）_max-f（x）_min=2^|±2|-2⁰=3，则n-m取得最大值是2-（-2）=4；
∴n-m的取值范围是（0，4]．
故答案为：（0，4]．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．