Question

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b．
（I）求角B的取值范围；
（Ⅱ）若A-C=$\frac{π}{3}$，求sinB．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理、基本不等式求得cosB≥$\frac{1}{2}$，结合0＜B＜π，求得B的范围．
（II）由a+c=2b，利用正弦定理化简可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（C+$\frac{π}{6}$），再利用诱导公式、二倍角公式求得$cos（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，可得$sin（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{13}}}{4}$，从而求得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（C+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（I）由余弦定理可得 $cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{{（\frac{a+c}{2}）}^2}}}{2ac}=\frac{{3{a^2}+3{c^2}-2ac}}{8ac}$$≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
又∵0＜B＜π，∴$B∈（0，\frac{π}{3}]$．
（II）∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，∴$sinB=\frac{1}{2}sinA+\frac{1}{2}sinC=\frac{1}{2}sin（C+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（C+\frac{π}{6}）$，
∴$sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin（2C+\frac{π}{3}）$，∴$sin（2C+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（C+\frac{π}{6}）$，
∴$2sin（C+\frac{π}{6}）cos（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（C+\frac{π}{6}）$，∴$cos（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，∴$sin（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{13}}}{4}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{13}}}{4}=\frac{{\sqrt{39}}}{8}$．

点评 本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，基本不等式，三角恒等变换，属于中档题．