Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与（4ⁿ+$\frac{1}{n}$+1）S_n的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件，先设{a_n}的通项为a₁，公差为d，由a₃=5，S₁₅=225，解得即可；
（Ⅱ）化简b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=4ⁿ+2n，根据前n项和公式，即可求出答案，再比较即可．

解答 解：（Ⅰ）根据已知条件，先设{a_n}的通项为a₁，公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{15}=15{a}_{1}+\frac{1}{2}×15×14d=225}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2^2n-1+2n=$\frac{1}{2}$•4ⁿ+2n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（4¹+4²+4³+…+4ⁿ）+2（1+2+3+…+n）=$\frac{{4}^{n+1}-4}{6}$+n²+n=$\frac{2}{3}$•4ⁿ+n²+n-$\frac{2}{3}$，
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{2}）}{2}$=n²，
∴T_n-（4ⁿ+$\frac{1}{n}$+1）S_n=$\frac{2}{3}$•4ⁿ+n²+n-$\frac{2}{3}$-（4ⁿ•n²+n²+n）=4ⁿ（$\frac{2}{3}$-n²）-$\frac{2}{3}$＜0，
∴T_n＜（4ⁿ+$\frac{1}{n}$+1）S_n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．