Question

1．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=b+c．
（I） 求角A的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）=sin（ωx+A）的最小正周期为π，求f（x）的减区间．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，又sinC≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），即可解得A的值．
（Ⅱ）利用三角函数周期公式可求ω，可得函数解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），即可解得f（x）的减区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）在△ABC中，由题意及正弦定理可得：sinA（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=sinB+sinC，…（2分）
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，…（4分）
整理可得：$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
又∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，…（6分）
∴2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA）=1，即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{3}$…（8分）
（Ⅱ）由题意，ω=$\frac{2π}{π}$=2，…（10分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），可得：kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，（k∈Z），
∴f（x）的减区间为：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）…（12分）
注：不写出k∈Z，扣1分．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式在解三角形中的应用，考查了正弦函数的单调性，属于中档题．