Question

16．已知函数f（x）=lnx-x+$\frac{a}{x}$+1（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求函数f（x）的极值；
（2）判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，可知f'（1）=-a=0，求出a的值，根据导函数判断函数的单调性，继而求出函数的极值；

（2）求出导函数，通过讨论-x²+x-a=0的判别式△=1-4a，对a进行分类讨论，得出原函数的单调区间．

解答 解（1）函数的定义域为（0，+∞），
f'（x）=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，f'（1）=-a=0，
∴a=0，
∴f（x）=lnx-x+1，f'（x）=$\frac{1}{x}$-1，
∴f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴极大值为f（1）=0，无极小值；
（2）由f'（x）=$\frac{-{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，方程-x²+x-a=0的判别式△=1-4a，
当a≥$\frac{1}{4}$时，f'（x）≤0，y=f（x）定义域上为减函数；
当0≤a＜$\frac{1}{4}$时，令f'（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，
由f'（x）＞0得$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，
由f'（x）＜0得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上递减，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上递增；
当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，
∴由f'（x）＞0得，x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$），f'（x）＜0得，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞），
故故f（x）在∈（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上递减，在（0，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上递增．

点评 本题考查了导函数的应用和对参数的分类讨论问题，综合性较强．