Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=-$\frac{1}{3}$，c=$\sqrt{3}$，sinA=$\sqrt{6}$sinC．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ） 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin²A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为$c=\sqrt{3}，sinA=\sqrt{6}sinC$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
得$a=\sqrt{6}•c=\sqrt{6}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ） 由$cos2A=1-2{sin^2}A=-\frac{1}{3}$得，$si{n}^{2}A=\frac{2}{3}$，
 由$0＜A＜\frac{π}{2}$得，$sinA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
则$cosA=\sqrt{1-si{n}^{2}A}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
化简得，b²-2b-15=0，解得b=5或b=-3（舍负）．
所以${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×5×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$．   …（13分）

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．