Question

8．已知关于x的方程x²+2alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，则实数a的值为$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 构造函数，根据函数奇偶性的性质得到方程的根为0，解方程即可得到结论．

解答 解：设f（x）=x²+2alog₂（x²+2）+a²-2，
则函数f（x）为偶函数，
若方程x²+2alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，
则等价为f（x）=0有唯一的解x=0，
则2alog₂2+a²-2=2a+a²-2=0，
得a=-1±$\sqrt{3}$，
当a=$\sqrt{3}-1$时，f（x）=x²+2（$\sqrt{3}-1$）log₂（x²+2）+2-2$\sqrt{3}$在[0，+∞）上为增函数，满足条件．
当a=-$\sqrt{3}-1$时，f（x）=x²+2（-$\sqrt{3}-1$）log₂（x²+2）+2+2$\sqrt{3}$，
f（2）=-2$\sqrt{3}$＜0，f（$\sqrt{30}$）=20-10$\sqrt{3}$＞0，∴此时不止一个零点，不满足条件．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，利用函数奇偶性的性质得到方程的根是解决本题的关键．