Question

已知向量

a

=（-2，5）与向量

b

=（λ，2）不共线，又函数f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）在（0，+∞）有最大值，则λ的取值范围是（　　）

• A、λ＜5
• B、-5＜λ＜5
• C、λ＜5，且λ≠-

  4

  5

• D、-5＜λ＜5，且λ≠-

  4

  5

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：化简f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）是一元二次函数，根据二次函数的图象和性质，当函数有最大值需要开口向下对称轴在y轴右侧．

解答： 解：∵f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）=-

a

•

b

x²+（

a

2-

b

2）x+

a

•

b

，
若函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，
则二次函数f（x）=-

a

•

b

x²+（

a

2-

b

2）x+

a

•

b

的图象的开口向下，且对称轴在y轴右侧，
即-

a

•

b

＜0，且

a

2-

b

2＞0，
由于向量

a

=（-2，5）与向量

b

=（λ，2）不共线，
即有-4≠5λ，即λ≠-

4

5

，
则-2λ+10＞0，且4+25-（λ²+4）＞0，
解得-5＜λ＜5，
即λ的取值范围是：-5＜λ＜5且λ≠-

4

5

．
故选D．

点评：本题考查向量的运算和二次函数取最值的条件，考查向量的共线和数量积的坐标表示和性质，属于中档题．