Question

已知

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1）（ω＞0），定义函数f（x）=

a

•（

b

-

a

），且y=f（x）的周期为π．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若x∈[

π

12

，

7π

12

]，求满足f（x）=

3 -1

2

的x值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量的综合题,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）求出向量a，b的数量积，运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式，得到f（x）的解析式，由正弦函数的值域，即可得到最大值；
（2）由x的范围，求得2x-

π

6

∈[0，π]，再由方程sin（2x-

π

6

）=

3

2

，即可解得x的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1），
∴

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+0×1=

3

2

sin2ωx
即有f（x）=

a

•（

b

-

a

）=

a

•

b

-

a

2=

3

2

sin2ωx-cos²ωx
=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
又函数f（x）的周期为π，则

2π

2ω

=π，即有ω=1，
则有f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，∵-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值为1-

1

2

=

1

2

；
（2）令sin（2x-

π

6

）-

1

2

=

3 -1

2

，
即有sin（2x-

π

6

）=

3

2

，
∵x∈[

π

12

，

7π

12

]，∴2x∈[

π

6

，

7π

6

]，2x-

π

6

∈[0，π]
即有2x-

π

6

=

π

3

或

2π

3

，
则x=

π

4

或x=

5π

12

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的性质和运用，考查运算能力，属于中档题．