Question

9．已知f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1
（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）≥0 即 x²-$\frac{3}{2}$x+1≥0，从而求得它的解．
（Ⅱ）不等式f（x）≤0，即（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）≤0，分类讨论求得它的解集．

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，有f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1=x²-$\frac{3}{2}$x+1，
不等式f（x）≥0 即 x²-$\frac{3}{2}$x+1≥0，即 （x-$\frac{1}{2}$）（x-2）≥0，求得x≤$\frac{1}{2}$或 x≥2，
∴不等式的解为：{x|x≤$\frac{1}{2}$或 x≥2 }．
（Ⅱ）∵不等式f（x）≤0，即（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）≤0，
又∵a＞0，当0＜a＜1时，有$\frac{1}{a}$＞a，∴不等式的解集为{x|a≤x≤$\frac{1}{a}$}，
当a＞1时，有$\frac{1}{a}$＜a，∴不等式的解集为{x|a≥x≥$\frac{1}{a}$}；
当a=1时，不等式的解为x=1．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．