Question

（本小题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在单调递减 ．

（Ⅲ）．

【解析】

试题分析: （Ⅰ）当时，，对函数求导数，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，则；（Ⅱ）对函数求导数得，，要分、和

三种情况讨论，易得当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，由题知，化简得，解得．

试题解析：（Ⅰ）当时，，

∴；

∵的定义域为，∴由 得，由 得．........2分

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴． .............4分

（Ⅱ）．

①当，即时，，∴在单调递减； 5分

②当时，，在单调递增； 6分

③当时，由得，∴或（舍去）

∴在单调递增，在上单调递减； 8分

综上，当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减．

当时，在单调递减； 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，

即原不等式等价于， 11分

即，整理得

∴ 13分

又∵，∴的取值范围为. 14分

考点：①利用导数求最值；②利用导数讨论函数的单调性；③利用导数求参数范围.