Question

已知圆和圆
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（3）求两圆公切线所在直线的方程．

Answer 1

解：（1）圆化成标准形式：（x+1）²+（y+3）²=1
∴圆心C₁（-1，-3），半径r₁=1
同理，得到圆的圆心C₂（2，-1），半径r₂=3
∵|r₁-r₂|=2，r₁+r₂=4，圆心距C₁C₂==
∴|r₁-r₂|≤C₁C₂≤r₁+r₂，得两圆的位置关系是相交；
（2）∵圆，
圆
∴圆C₁和圆C₂的方程两边对应相减，得6x+4y+13=0，
即为两圆公共弦所在直线方程．
（3）过C₁作y轴的平行线，交圆C₁于D点，过C₂作y轴的平行线，交圆C₂于C点，可得D（-1，-4），C（2，-4）
∴直线DC方程为y=-4，且DC是两圆的一条公切线
直线DC交直线C₁C₂于点A，则过A点与圆C₂相切的直线必定与圆C₁也相切
设切点为B，因此直线AB是两圆的另一条公切线，
求得C₁C₂方程：y=，可得A（-2.5，-4），
设直线AB方程为y+4=k（x+2.5），即kx-y+2.5k-4=0
∴点C₂到直线AB的距离为=3，解之得k=（k=0舍去）
因此直线AB的方程为y=x+2
综上所述，两圆公切线所在直线的方程为y=x+2和y=-4
分析：（1）将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径，计算出圆心距并比较其与|r₁-r₂|、r₁+r₂的大小关系，可得两圆的位置关系是相交；
（2）将两圆的一般式方程相减，消去平方项可得关于x、y的二次一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程；
（3）根据图形，得到两个圆纵坐标最小的点C、D的纵坐标都是-4，得到一条公切线方程为y=-4．由此求出连心线与直线
y=-4的交点为A（-2.5，-4），利用点斜式方程求出过A并且与圆C₂相切的直线AB，即为两圆的另一条公切线．最后加以整理综合，可得两圆公切线所在直线的方程．
点评：本题给出两圆的一般式方程，求两圆的位置关系并求它们的公切线方程，着重考查了圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．