Question

5．直线过点A（0，-3），B（2，1），在抛物线y²=-2x上求一点P，使它到直线AB的距离最短，并求出此最短距离d．

Answer 1

分析 用两点式求得直线AB的方程为2x-y-4=0，设抛物线y²=-2x上的点P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），由点P到直线AB的距离能求出结果．

解答 解：用两点式求得直线AB的方程为$\frac{x-0}{y+3}=\frac{0-2}{-3-1}$，即2x-y-3=0，
设抛物线y²=-2x上的点P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），则点P到直线AB的距离为：
d=$\frac{|-{t}^{2}-t-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{t}^{2}+t+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（t+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}{\sqrt{5}}$，
故当t=$-\frac{1}{2}$时，d取得最小值为$\frac{11\sqrt{5}}{20}$，此时P（$-\frac{1}{8}$，$-\frac{1}{2}$），

点评 本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式、二次函数的性质的应用，属于中档题．