Question

17．已知x，y满足：$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$，若（1，1）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时的唯一最优解，则实数a取值的集合是（　　）

• A． {1}
• B． （0，1）
• C． （0，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合（1，1）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时的唯一最优解可得a的范围．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=-ax+z，
∵目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时有唯一最优解，
∴-a＜-1，即a＞1．
∴实数a取值的集合是（1，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．