Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$，若f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$满足f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），可得-2≤x₁＜0，则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}$=-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$，满足：f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），
则-2≤x₁＜0，
则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}$=-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$，
由y=-x+$\frac{4}{x}$在[-2，0）上为减函数，
当x₁=2时，-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$=0，
x₁→0时，-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$→-∞，
故-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$∈（-∞，0]
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的值域，难度中档．