Question

2．当x∈（0，1]时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是[-6，+∞）．

Answer 1

分析 当x=0时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，可得a∈R；当x＞0时，分离参数a，得a≥$\frac{1}{x}-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$恒成立．令$\frac{1}{x}$=t换元后利用导数求函数的最大值，求出a的范围，取交集得答案．

解答 解：当x=0时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，∴a∈R；
当x＞0时，分离参数a，得a≥$\frac{1}{x}-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$恒成立．
令$\frac{1}{x}$=t，x∈（0，1]，∴t≥1．
∴a≥t-4t²-3t³恒成立．
令g（t）=t-4t²-3t³，则g′（t）=1-8t-9t²=（t+1）（-9t+1），
当t≥1时，g′（t）＜0，函数g（t）为[1，+∞）上的减函数，
则g（t）≤g（1）=-6．
∴a≥-6．
取交集得a≥-6．
∴实数a的取值范围是[-6，+∞）．
故答案为：[-6，+∞）．

点评 本题考查利用分离参数法求解恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．