Question

10．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4$\sqrt{2}$sinθ．
（Ⅰ）将C₂的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设C₁，C₂交于A，B两点，点P的坐标为$（\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C₂的直角坐标方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$转化为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入${x}^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}=8$，得t²-2t-6=0，由此能求出|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₂：ρ=4$\sqrt{2}$sinθ，∴${ρ}^{2}=4\sqrt{2}ρsinθ$，
∴C₂的直角坐标方程为：${x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt{2}y$，即${x}^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}=8$．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$转化为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入${x}^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}=8$，
得t²-2t-6=0，
则t₁+t₂=2，t₁t₂=-6，
∴|PA|+|PB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4+24}=2\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．